Résumé / Summary
Méthodes perturbatives pour la modélisation
O. Thual, INP Toulouse
La modélisation repose sur une palette d’outils de mathématiques appliquées. Le livre « Advanced mathematical methods for scientists and engineers », de Carl M. Bender et Steven A. Orszag ([1]), présente des méthodes asymptotiques très courantes en physique. Le cours est centré sur une lecture active de cet ouvrage en se concentrant sur un choix de chapitres particulièrement pertinents pour la mécanique des fluides. Une approche des fonctions spéciales (Airy, Bessel, …) est effectuée à l’aide des séries de Frobenius, solutions d’équations différentielles linéaires. Les méthodes de la phase stationnaire et du col, très présentes dans l’étude des ondes et des instabilités, permettent de décrire le comportement asymptotique d’intégrales à grand paramètres. Enfin, trois méthodes asymptotiques sont incontournables dans de nombreux problèmes de recherche : analyse de couche limite, théorie WKB et méthode des échelles multiples. Au-delà de ces objectifs principaux du cours, assimilés au moyen de nombreux exercices, une sensibilisation aux contenus des autres chapitres du livre est visée.
[1] « Advanced mathematical methods for scientists and engineers », Carl M. Bender et Steven A. Orszag, McGraw-Hill 1978
Perturbation methods for modelling
O. Thual, INP Toulouse
Modelling is based on a range of applied mathematics tools. The book "Advanced mathematical methods for scientists and engineers", by Carl M. Bender and Steven A. Orszag ([1]), presents very common asymptotic methods in physics. The course focuses on an active reading of this book focusing on a selection of chapters particularly relevant for fluid mechanics. An approach of special functions (Airy, Bessel, ...) is performed using a Frobenius series, solutions of linear differential equations. The methods of the stationary phase and steepest descent, very present in the study of waves and instabilities, can describe the asymptotic behaviour of integrals with large parameters. Finally, three asymptotic methods are unavoidable in many research problems: boundary layer analysis, WKB theory and multiple scales methods. Beyond these main objectives of the course, assimilated through many exercises, an outreach to the contents of other chapters of the book is targeted.
[1] « Advanced mathematical methods for scientists and engineers », Carl M. Bender et Steven A. Orszag, McGraw-Hill 1978